Wertpapier-Anlagestrategien

Anleihen verstehen mit Mathematik

Mathematik ist einer der Schlüssel zum Verständnis des Anleihenmarktes. Jedoch sollte man sich nicht zu sehr darauf konzentrieren. Die wirklich entscheidende Aufgabe ist es, die zugrunde liegenden Konzepte des Anleihenmarktes zu verstehen. Die meisten Daten, die für eine Investitionsentscheidung notwendig sind, wurden entweder schon auf Webseiten fertig berechnet oder sind in der Presse erhältlich oder können durch ein paar Tastendrücke auf einem Taschenrechner berechnet werden.

Die Mathematik der Anleihenmärkte kann auf einige wenige Schlüsselkonzepte reduziert werden: Auf- und Abzinsung, Stückzinsen, laufende Rendite, Rückzahlungsrendite und Spreads. Ausgerüstet mit der Kenntnis dieser Konzepte und einem enormen Maß an gesundem Menschenverstand, wird das Ausfindigmachen einer unterbewerteten Anleihe zum Investieren weniger zum Ratespiel.

Selbst einfache mathematische Konzepte können hilfreich sein.

Zinseszins ist eines dieser eingängigen Konzepte, die vom Durchschnittsanleger stark unterschätzt werden. Nimmt man, zum Beispiel, eine Investition mit einer Jahresrendite von 7%, kann sich durch Aufzinsung das Geld des Anlegers innerhalb von 10 Jahren verdoppeln. Bei einer Jahresrendite von 10% kann das Kapital innerhalb von sieben Jahren verdoppelt werden. Sehen Sie unten weshalb das so ist.

Aufzinsung bedeutet, dass man Zinsen auf Zinsen erhält. Verleiht man € 1000 zu 10%, erhält man am Ende des ersten Jahres € 100. Nun kann man € 1100 verleihen. Am Ende des zweiten Jahres erhält man € 110. Nun kann man € 1210 verleihen. Dies wirft Zinsen im Wert von € 121 ab, so dass man am Ende des dritten Jahres € 1331 besitzt. Und so weiter. Anstelle von einfach € 100 erhält man mehr Zinsen, da der Aufzinsungseffekt bedeutet, dass frühere Zinszahlungen an sich auch Ertrag abwerfen.

Die Mathematik die hier dahinter steckt ist relativ einfach. Der zukünftige Wert einer solchen Anlage, die Zinseszins einsetzt, basiert auf dem Kapital (der Betrag der investiert oder verliehen wird), einem Zinssatz und einer Laufzeit (die Anzahl der Jahre, über die die Investition läuft). Dies kann wie folgt in einer algebraischen Formel ausgedrückt werden:

Zukünftiger Wert (ZW) = K x (1+Z)n

In dieser Formel ist K = Kapital, Z = der Jahreszinssatz ausgedrückt als Dezimale und n = die Laufzeit in Jahren.

Angenommen ein Bankkonto zahlt 5% Zinsen und die Zinsen werden einmal jährlich am Jahrestag der ersten Einzahlung ausgezahlt. Bei einer Einlage von € 10.000, würde sich nach fünf Jahren folgender Betrag ergeben:

Zukünftiger Wert (ZW) = 10.000 x (1,05 hoch 5), oder 10.000 x 1,276 ergibt € 12.760.

Es ist wichtig, dass diese Idee verstanden wird, da Zins auf Zinsen eine entscheidende Komponente bei der Messung der tatsächlichen Rendite aus einer Anleihe vom Zeitpunkt des Kaufs durch einen Investor bis zum Fälligkeitsdatum der Anleihe darstellt.

Abzinsung ist das genaue Gegenteil von Aufzinsung. Am einfachsten lässt sich dieses Konzept durch eine Betrachtung des Inflationseffektes verstehen. Angenommen es herrscht eine Inflation von 5% und es wird ein Betrag von € 1000 innerhalb von einem Jahr erwartet. Zu dem Zeitpunkt, an dem die € 1000 erhalten würden, wären sie nach heutigem Wert nur noch € 950 wert, da in der Zwischenzeit die Kaufkraft durch die Inflation um 5%, bzw. € 50 reduziert wurde. Anders ausgedrückt, der aktuelle (d.h. heutige) Wert des jährlich erwarteten Betrags wurde um 5% "abgezinst".

Man kann dies folgendermaßen ausdrücken:

Aktueller Wert (AW) = ZW x (1-D)n

Die Ähnlichkeit dieser Formel mit der für die Aufzinsung ist leicht zu erkennen. Anstatt einen Zinssatz zu addieren, wird in der Klammer ein Abzinsungssatz abgezogen, der aktuelle Wert (Kapital) und der zukünftige Wert tauschen die Seiten, und das war's auch schon.

Abzinsung stellt ein wichtiges Konzept bei der Investition in Anleihen dar, da hier genau diese Art der Berechnung angewendet wird.

Bei einer Anleihe investiert der Anleger zu Beginn einen gewissen Betrag und empfängt während der gesamten Laufzeit der Anleihe regelmäßig Auszahlungen in Form von Anleihezinszahlungen und erhält am Fälligkeitsdatum das Kapital zurück.

Eine Möglichkeit der Berechnung des tatsächlichen Ertrages einer Anleihe(d.h. die Rückzahlrendite - siehe unten) ist als Abzinsungssatz, der die vorausberechneten Auszahlungen während der Laufzeit einer Anleihe mit dem bezahlten Kurs und dem heute investierten Betrag gleichsetzt.

Zahlt zum Beispiel ein Anleger 90% des Nennwertes für eine Anleihe von € 10.000 mit einem Anleihezins von 4% und einer Laufzeit von zehn Jahren, kann er/sie erwarten, dass der tatsächliche Ertrag höher als der nominale Anleihezins von 4% ausfällt.

Das liegt daran, dass ein höherer Abzinsungssatz als 4% notwendig wäre, um die Anleihezinszahlungen aus der Anleihe, die auf dem Nennwert basieren, und die Rückzahlung des € 10.000-Nennwertes in zehn Jahren mit den € 9000, die heute tatsächlich für die Anleihe bezahlt wurden, gleichzusetzen.

Anders ausgedrückt, der tatsächliche Ertrag einer Anleihe ist eine Funktion aus dem Kurs, der für die Anleihe gezahlt wurde (der sich fast immer vom Nennwert der Anleihe unterscheidet), dem Anleihezins und der restlichen Laufzeit bis zur Fälligkeit.

Stückzinsen

Eine der Eigenarten des Anleihenmarktes ist, dass wenn Anleihen gehandelt werden, wird der Marktkurs so berichtigt, dass die aufgelaufenen Zinsen seit der letzten Anleihezinszahlung widergespiegelt werden.

Angenommen die Zinsen einer Anleihe mit einem Anleihezins von 5% werden am 31. Dezember ausgezahlt. Ein Handel der Anleihe mit dem Nominalpreis von € 10.000 wird am 31. März zu einem Preis von 102 zum Abschluss gebracht. Der Verkäufer der Anleihe hat jedoch in den 90 Tagen seit der letzten Auszahlung Zinsen angehäuft.

In diesem speziellen Fall hat sich ein Betrag von € 123,29 an Zinsen angesammelt, wodurch sich der Preis, den der Käufer bezahlen muss, einschließlich der aufgelaufenen Zinsen auf € 103,2329 beläuft. Im Anleihenjargon wird dies als "Dirty Price" (schmutziger Preis) bezeichnet. Der Käufer bezahlt dem Verkäufer also einen zusätzlichen Betrag über dem Marktpreis, der den Stückzins widerspiegelt, zu dem der Verkäufer berechtigt gewesen wäre und den er nun nicht erhalten wird, da in Zukunft der Käufer alle nachfolgenden Anleihezinsauszahlungen erhalten wird.

Die Formel zur Berechnung des Stückzinses lautet daher wie folgt:

Stückzins (SZ) = AZ x (AD - ZD)/365

AZ = Anleihezins, AD - ZD ist die Anzahl der Tage zwischen dem Abschlussdatums des Verkaufs und dem letzten Zinszahlungsdatum.

In den unterschiedlichen Ländern werden unterschiedliche Übereinkommen zur Berechnung von Daten angewandt. Einige basieren auf der tatsächlichen Anzahl an Tagen, einige gehen davon aus, dass jeder Monat 30 Tage hat und dass ein Jahr 360 Tage hat, und einige ignorieren die Auswirkungen von Schaltjahren.

Renditen sind die Hauptwährung für Anleger in Anleihen. Sie sind die Grundlage für Entscheidungen darüber, ob eine Anleihe billig oder teuer ist.

Man kann sie sich als ein einheitliches Maß für den Vergleich von Anleihen vorstellen, die vom gleichen Ausgeber stammen, jedoch unterschiedliche Fälligkeitstermine haben, oder von Anleihen, die von unterschiedlichen Ausgebern stammen, jedoch ähnliche Fälligkeitstermine haben. Rückzahlungsrenditen (Rendite bis zum Fälligkeitstermin) im Besonderen ermöglichen diesen Vergleich. Sie erlauben außerdem den Vergleich von Anleihen mit unterschiedlichen Anleihezinsen auf der gleichen standardisierten Grundlage.

Ganz einfach gesagt ist die Rendite auf eine Anleihe einfach nur der Zins einer Anleihe ausgedrückt als Prozentsatz vom Marktpreis. Eine Anleihe mit einer Laufzeit von 20 Jahren und einem Zins von 6% und einem Kurs von 120, hat eine einfache Rendite von 5% (6 x 100/120). Sie werden auch "Einfache Rendite", "Ertragsrendite" oder "Laufende Rendite" genannt. Das ist jedoch nur die halbe Wahrheit. Das "Zins auf Zinsen" Element bei den Renditen einer Anleihe - die Tatsache, dass Anleger erhaltene Zinszahlungen erneut investieren können, um zusätzliche Zinsen zu erzielen - wird hierbei ignoriert.

Noch entscheidender ist jedoch, dass hierbei die Tatsache ignoriert wird, dass sich der Kurs, der für eine Anleihe bezahlt wird und der Rückzahlungswert der Anleihe, für gewöhnlich der Nennwert, erheblich unterscheiden können. Die meisten Anleihen werden zum Nennwert, bzw. 100 zurückgezahlt. Zahlt ein Anleger also 120 für eine Anleihe und behält sie bis zum Fälligkeitstermin, muss eine genaue Berechnung des tatsächlichen Gewinns berücksichtigt werden, da der Anleger einen unvermeidlichen Kapitalverlust erleiden wird, wenn die Anleihe zum Nennwert zurückgezahlt wird.

Ignoriert man das Zins-auf-Zinsen-Element für einen Augenblick, dann sollte also ein Anleger im obigen Beispiel einen Betrag von ca. 1% pro Jahr abziehen, um den jährlichen Kapitalverlust bis zum Fälligkeitstermin der Anleihe einzuplanen. Dies ist in der Tat sehr realistisch, da es genau das ist, was unter sonst gleichen Umständen auf dem Markt geschehen wird. Besitzer einer Anleihe, die über dem Nennwert gekauft wurde, erleben in der Regel unter sonst gleichen Umständen eine Kursveränderung der Anleihe bis zum Fälligkeitstermin und der Rückzahlung zu nicht mehr oder weniger als 100% des Nennwertes.

Das gleiche gilt für Anleihen, die unter pari gekauft werden und bei denen die Besitzer zusätzlich zu ihrer Rendite über die Laufzeit der Anleihe hinweg bis zum Fälligkeitstermin. einen Kapitalzuwachs erfahren. Eine Schätzung der Rückzahlungsrendite erhält man durch Addieren oder Subtrahieren der Differenz zwischen dem Nennwert und dem bezahlten Preis dividiert durch die Anzahl der Jahre bis zur Fälligkeit. Dies bezeichnet man als "berichtigte laufende Rendite".

Die Formel hierfür lautet:

Berichtigte laufende Rendite (BLR) = LR + (100 - P)/F

SY = einfache bzw. "laufende" Rendite, P = der "reine" Preis und F = die Anzahl der Jahre bis zur Fälligkeit.

Übertragen auf obiges Beispiel bedeutet dies:

Berichtigte laufende Rendite (BLR) = 5 + (100 - 120)/20, was wiederum 5% + (-20)/20, bzw. 5% - 1%, bzw. 4% ergibt.

Mit der Rückzahlungsrendite (auch: Endfälligkeitsrendite) erhält man das gleiche Ergebnis auf etwas schwierigerem Wege. Sie beinhaltet auch das Zins-auf-Zinsen-Element bei der Rückzahlung.

Ohne es mit der Algebra zu Übertreiben, kann die Formel in folgenden Worten ausgedrückt werden:

Endfälligkeitsrendite (EFR) = laufende Rendite + "Zins-auf-Zinsen" + aufs Jahr umgerechneter Gewinn oder Verlust am Fälligkeitstermin.

.....oder sie kann folgendermaßen ausgedrückt werden, wie vorher bei der Abzinsung angedeutet:

Aktueller Wert (AW) des Kapitalflusses der Anleihe abgezinst um r% = Marktkurs + aufgelaufene Zinsen

r% = Rückzahlungsrendite.

Streng genommen, ist also die Rückzahlungsrendite der einheitliche Abzinsungssatz zu dem der aktuelle Wert des zukünftigen Kapitalflusses einer Anleihe (d.h. die Anleihezinszahlungen, Zinsen auf Anleihezinszahlungen, und die Rückzahlung des Nennwertes der Anleihe) gleichgestellt ist mit dem aktuellen Kurs einschließlich aufgelaufener Zinsen.

Glücklicherweise geschieht es nur selten, dass Anleger die Rückzahlungsrendite von Grund auf berechnen müssen. Anleiherenditen werden auf den Finanz-Webseiten, wie Bloomberg.com und FT.com aufgeführt, oder können ganz einfach mit Hilfe einer Funktion in einer Tabellenkalkulation oder einem Finanztaschenrechner ermittelt werden.

Zur Ermittlung der Rückzahlungsrendite wird der Kupon, die Häufigkeit der Kuponzahlungen, der Anleihekurs, das Datum, an dem die Transaktion abgeschlossen wurde, das Fälligkeitsdatum der Anleihe, und der Rückzahlungswert (in der Regel 100) benötigt.

Der wichtigste Aspekt der Rückzahlungsrendite ist, dass es die einzige Zahl ist, die alle Aspekte einer Anleihe zusammenfasst - wo der Kurs im Verhältnis zum Nennwert steht, ob die Anleihe einen hohen oder niedrigen Zins besitzt (oder ob sie gar eine Nullkuponanleihe ist), und die Anzahl der Jahre bis zur Fälligkeit. Die Rückzahlungsrendite kann daher für den Vergleich einer beliebigen Anleihe eines beliebigen Emittenten mit einer anderen beliebigen Anleihe eines anderen beliebigen Emittenten genutzt werden.

Die Rückzahlungsrenditen bieten die entscheidenden Informationen, die zur Schätzung des tatsächlichen Wertes einer Anleihe benötigt werden. Da die Rückzahlungsrendite alle relevanten Informationen über eine Anleihe in einem einheitlichen Format beinhalten, sagen die unterschiedlichen Renditen verschiedener Anleihen mit ähnlichen Fälligkeiten (die sog. Spreads) viel darüber aus, wie das mit den Anleihen verbundene Risiko am Markt wahrgenommen wird. Eine häufige Technik ist die Berechnung der Spread im Vergleich zu gleichwertigen Staatsanleihen, wie z.B. US-Schatzanweisungen oder deutschen Bundesanleihen oder britischen Staatsobligationen, mit ähnlichen Fälligkeiten.

Die Spread, bzw. der Unterschied bei RückzahlungsrenditenDie Spread, bzw. der Unterschied bei Rückzahlungsrenditen, wird in "Basispunkten" ausgedrückt. Ein Basispunkt ist ein Hundertstel von einem Prozent. Beispiel: eine Vodafone 5,9 % Anleihe in Pfund Sterling mit Fälligkeitstermin im November 2032 erzielt momentan eine Rendite von 6,69 %; im Vergleich mit einer britischen Staatsobligation mit der gleichen Fälligkeit und einer Rendite von 4,4 % ergibt sich eine Spread von 2,29 Prozentpunkten (6,69 - 4,40), bzw. 229 Basispunkten.

Investoren müssen selbst beurteilen, ob der zusätzliche Gewinn, der durch die Spread im Vergleich zu einer Staatsanleihe, bei der das Risiko einer Schlechterfüllung quasi nicht vorhanden ist, angedeutet wird, eine adäquate Entschädigung für das zusätzliche Risiko bietet. Dies ist der entscheidende Punkt, bei dem die Mathematik endet und die persönliche Einschätzung beginnt.

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